Cos'è distribuzione chi quadro?

La Distribuzione Chi Quadro (χ²)

La distribuzione chi quadro (χ²) è una distribuzione di probabilità continua che viene utilizzata ampiamente in statistica. È definita solo per valori non negativi ed è caratterizzata da un singolo parametro: i gradi di libertà (k).

Caratteristiche principali:

  • Parametro: Gradi di libertà (k). k è un intero positivo.
  • Supporto: [0, +∞) - La distribuzione è definita solo per valori non negativi.
  • Forma: Asimmetrica a destra. L'asimmetria diminuisce all'aumentare dei gradi di libertà.
  • Media: Uguale ai gradi di libertà (k).
  • Varianza: Uguale a due volte i gradi di libertà (2k).

Utilizzi comuni:

  • Test di indipendenza: Per verificare se due variabili categoriali sono indipendenti l'una dall'altra. Il test del chi quadro di indipendenza è una delle applicazioni più comuni.
  • Test di bontà dell'adattamento (Goodness-of-fit test): Per verificare se un campione di dati segue una distribuzione teorica specificata.
  • Intervalli di confidenza per la varianza: Per stimare un intervallo di valori plausibili per la varianza di una popolazione.
  • Analisi della varianza (ANOVA): In alcune forme di ANOVA, la statistica test può essere approssimata da una distribuzione chi quadro.

Come si genera una distribuzione chi quadro?

Se si hanno k variabili casuali indipendenti, ognuna con una distribuzione normale standard (media 0, varianza 1), allora la somma dei loro quadrati segue una distribuzione chi quadro con k gradi di libertà. In altre parole, se Z<sub>1</sub>, Z<sub>2</sub>, ..., Z<sub>k</sub> sono variabili casuali indipendenti e distribuite normalmente standard, allora:

χ² = Z<sub>1</sub>² + Z<sub>2</sub>² + ... + Z<sub>k</sub>²

segue una distribuzione chi quadro con k gradi di libertà, denotata come χ²(k).

Importanza pratica:

La distribuzione chi quadro è uno strumento fondamentale nella statistica inferenziale, consentendo di prendere decisioni basate sui dati, testare ipotesi e stimare parametri. La sua applicabilità in diversi test e analisi la rende una delle distribuzioni più utilizzate in molti campi di studio.